الأعدادالمركبةشرحمفصلومبسط
فيعالمالرياضيات،تُعتبرالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)منالمفاهيمالأساسيةالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُكتبالعددالمركبعادةًعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقي(RealPart).
-bهوالجزءالتخيلي(ImaginaryPart).
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرّفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i=\sqrt{ -1}]الأعدادالمركبةشرحمفصلومبسط
لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟
فيالبداية،قديبدومفهومالعددالتخيليغريبًا،لأنهلايوجدعددحقيقيمربعهيساوي-1.ومعذلك،فإنالأعدادالمركبةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعملية،مثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد(AC).
-الفيزياءالكمية:تمثيلالدوالالموجيةوالاحتمالات.
-معالجةالإشارات:تحويلاتفورييه(FourierTransforms)التيتعتمدعلىالأعدادالمركبة.
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(3+2i)+(1-4i)=(3+1)+(2i-4i)=4-2i]
الأعدادالمركبةشرحمفصلومبسط
الضرب:
نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
مثال:
[(2+3i)\times(1-i)=2\times1+2\times(-i)+3i\times1+3i\times(-i)]
[=2-2i+3i-3i^2=2+i-3(-1)=2+i+3=5+i]
الأعدادالمركبةشرحمفصلومبسط
القسمة:
الأعدادالمركبةشرحمفصلومبسط
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(ComplexConjugate)للتخلصمنالجزءالتخيليفيالمقام.
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-4i}\times\frac{ 3+4i}{ 3+4i}=\frac{ (1+2i)(3+4i)}{ 9+16}=\frac{ 3+4i+6i+8i^2}{ 25}]
[=\frac{ 3+10i-8}{ 25}=\frac{ -5+10i}{ 25}=\frac{ -1+2i}{ 5}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالمركب(ComplexPlane)،حيثالمحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي،والمحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.بهذهالطريقة،يصبحالعددالمركبمتجهًايمكنقياسطوله(المعيار)باستخدامنظريةفيثاغورس:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
خاتمة
الأعدادالمركبةليستمجردفكرةرياضيةمجردة،بللهاتطبيقاتواسعةفيالعلوموالهندسة.فهمهايتطلببعضالوقت،لكنهاتفتحأبوابًاجديدةلفهمالظواهرالطبيعيةوالتقنياتالحديثة.
الأعدادالمركبةشرحمفصلومبسطإذاكنتمهتمًابتعميقمعرفتك،يمكنكالبحثعنصيغةأويلر(Euler'sFormula)التيتربطالأعدادالمركبةبالدوالالمثلثيةوالأسيّة!
الأعدادالمركبةشرحمفصلومبسط
