الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)–شرحشامل
الأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالأعدادالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،والفيزياء،وعلومالحاسوب،وحتىفيالرسوماتثلاثيةالأبعاد.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،وخصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل
ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقيمنالعدد.
-bهوالجزءالتخيليمنالعدد.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أي:
[i=\sqrt{ -1}]
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتي(مستوىالأعدادالمركبة)حيثيُرسمالجزءالحقيقيعلىالمحورالأفقي(محورالسينات)والجزءالتخيليعلىالمحورالرأسي(محورالصادات).يُعرفهذاالتمثيلباسممخططأرغاند،حيثيمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالإحداثياتالقطبيةكالتالي:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-rهوطولالمتجه(المُعَامِل).
-θهيالزاويةالتييصنعهاالمتجهمعالمحورالأفقي.
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةبشكلمنفصل.
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل
الضرب:
الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل
عندضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعتذكرأن(i^2=-1).
[(a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]القسمة:
الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(يتمعكسإشارةالجزءالتخيلي).
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
المرافقالمركب(ComplexConjugate)
مرافقالعددالمركب(z=a+bi)هوالعدد(\overline{ z}=a-bi).يُستخدمالمرافقفيتبسيطالعملياتالحسابيةمثلالقسمة،كماأنهيساعدفيحسابمعاملالعددالمركب:
[|z|=\sqrt{ a^2+b^2}]
تطبيقاتالأعدادالمركبة
- الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلدوائرالتيارالمتردد.
- معالجةالإشارات:تساعدفيتحويلاتفورييهلتحليلالترددات.
- الرسوماتالحاسوبية:تُستخدمفيإنشاءتأثيراتثلاثيةالأبعاد.
الخاتمة
الأعدادالمركبةليستمجردمفهومنظري،بللهاتطبيقاتعمليةواسعةفيالعلوموالهندسة.فهمهايتيحللطلابوالمهندسينحلمسائلمعقدةبسهولةأكبر.نأملأنيكونهذاالمقالقدقدمشرحًاواضحًاومفيدًالهذاالموضوعالمهم.
الأعدادالمركبةComplexNumbers–شرحشامل
