الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتجمعبينالأعدادالحقيقيةوالتخيلية.تُستخدمهذهالأعدادفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية،مثلتحليلالدوائرالكهربائية،ومعالجةالإشارات،وحتىفيميكانيكاالكم.فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعها.الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
ماهيالأعدادالمركبة؟
العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهعلىالصورة:
[z=a+bi]
حيث:
-aهوالجزءالحقيقيمنالعددالمركب.
-bهوالجزءالتخيليمنالعددالمركب.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1،أيأن(i^2=-1).
علىسبيلالمثال،العدد(3+4i)هوعددمركب،حيث3هوالجزءالحقيقيو4هوالجزءالتخيلي.
تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
- التمثيلالجبري:وهوالشكل(a+bi)الذيذكرناهسابقًا.
- التمثيلالهندسي:حيثيُرسمالعددالمركبعلىمستوىيُسمى"المستوىالمركب"،حيثالمحورالأفقييمثلالجزءالحقيقيوالمحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
- التمثيلالقطبي:يُكتبالعددالمركبباستخدامالزاويةونصفالقطر،مثل(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
[(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3-5)i=3-2i]
2.الضرب
يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معتذكرأن(i^2=-1).
مثال:
[(1+2i)\times(3-i)=1\times3+1\times(-i)+2i\times3+2i\times(-i)]
[=3-i+6i-2i^2=3+5i-2(-1)=3+5i+2=5+5i]
3.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(وهوالعددالمركبنفسهمعتغييرإشارةالجزءالتخيلي).
مثال:
[\frac{ 1+2i}{ 3-i}=\frac{ (1+2i)(3+i)}{ (3-i)(3+i)}=\frac{ 3+i+6i+2i^2}{ 9-i^2}]
[=\frac{ 3+7i-2}{ 9+1}=\frac{ 1+7i}{ 10}=\frac{ 1}{ 10}+\frac{ 7}{ 10}i]
خصائصالأعدادالمركبة
- المرافقالمركب:إذاكان(z=a+bi)،فإنمرافقههو(\overline{ z}=a-bi).
- المعيار(Modulus):هوالمسافةمننقطةالأصلإلىالعددالمركبفيالمستوىالمركب،ويُحسببالصيغة(|z|=\sqrt{ a^2+b^2}).
- صيغةأويلر:تربطالأعدادالمركبةبالدوالالمثلثية،حيث(e^{ i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta).
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالات،مثل:
-الهندسةالكهربائية:لتحليلدوائرالتيارالمتردد.
-معالجةالإشارات:فيتحليلFourier.
-الفيزياءالكمية:لوصفالدوالالموجية.
الخلاصة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتخصصاتالعلمية.منخلالفهمأساسياتهاوخصائصها،يمكنتطبيقهافيحلمشكلاتمعقدةفيالهندسةوالفيزياءوالعلومالأخرى.إذاكنتمهتمًابالرياضياتالمتقدمة،فإنإتقانالأعدادالمركبةسيفتحلكأبوابًاجديدةفيعالمالمعرفة!
الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط
